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By Paul J. McCarthy, Markus Hablizel

Dieses Buch bietet eine Einführung in die Theorie der arithmetischen Funktionen, welche zu den klassischen und dynamischen Gebieten der Zahlentheorie gehört.
Das Buch enthält breitgefächerte Resultate, die für alle mit den Grundlagen der Zahlentheorie vertrauten Leser zugänglich sind. Der Inhalt geht weit über das Spektrum hinaus, mit dem die meisten Lehrbücher dieses Thema behandeln. Intensiv besprochen werden beispielsweise Ramanujan-Summen, Fourier-Zerlegungen arithmetischer Funktionen, Anzahl der Lösungen von Kongruenzen, Dirichlet-Reihen und verallgemeinerte Dirichlet-Faltungen sowie arithmetische Funktionen auf Gittern.
Desweiteren sind viele bibliografische Anmerkungen sowie Verweise auf Originalliteratur aufgeführt. Mehr als four hundred Übungsaufgaben bilden darüber hinaus einen wesentlichen Bestandteil für die Erschließung des Themas.

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67 kann auch direkt gezeigt werden, wenn nur der Spezialfall nachgewiesen wird, in welchem n und m Potenzen derselben Primzahl sind. 14 (ii). 14. n/ WD d 2 d jn definiert. f / ist ebenfalls multiplikativ. f / D f 2 . f / D Bf 2 . 76 Man finde die arithmetischen Funktionen N . k /, N. /, N . ˇ/, N. R1 /. 77 Man finde die arithmetischen Funktionen N. '/. n/ WD # x 2 N W 1 Ä x Ä nk ; xI nk k ist eine 2k-te Potenz Man setzt ˇ WD ˇ1 . 4 Übungen zu Kap. 1 35 Insbesondere ist ˇk speziell multiplikativ mit B D k .

N/ primen k-Restklassensystemen modulo d . 4. 43 Sei k 2 N, k D k1 C : : : C km mit ki 2 N. 44 Ist f eine multiplikative Funktion und f vollständig multiplikativ. 45 Sei f eine multiplikative Funktion. g multiplikativ. Gilt beispielsweise f ' D f 1 f 1 , dann ist f vollständig multiplikativ. fg/ 1 D fg 1 für jede beliebige invertierbare arithmetische Funktion g gilt. n/ WD Die Liouville-Funktion X a1 C:::Cam . 4 Übungen zu Kap. 24. 48 In dieser und den nachfolgenden Übungen werden Identitäten aufgeführt für deren Beweise es hilfreich sein könnte, dass die involvierten Funktionen multiplikativ sind oder sich als Dirichlet-Faltung darstellen lassen.

Sowohl die Reihe als auch das Produkt konvergieren für jxj < 1. Die Definition von über eine Modulform lässt sich in Tom Apostols Buch [12, S. 20] finden; darin [12, S. 92f] findet sich auch die Beweisidee dafür, dass speziell multiplikativ ist mit B D 11 . mIn/ 45 Sarvadaman D. S. Chowla (1907–1995) Harald Scheid (geb. p/2 4p 11 Á definiert sind. Srinivasa Ramanujan vermutete [321], dass der Ausdruck unter der Wurzel stets negativ ist. Diese Vermutung wurde von Pierre Deligne50 bewiesen, siehe auch [12, S.

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